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轮换对称性使用条件：只要积分区域关于y=x对称就可以使用轮换对称性，使用轮换对称性的目的是简化计算，通常可以配合极坐标使用。



1积分轮换对称性特点及规律

(1)对于曲面积分，积分曲面为u(x,y,z)=0，如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0，即u(y,z,x)=0，也就是积分曲面的方程没有变，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,x,z后，u(y,x,z)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成z,x,y后，u(z,x,y)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(z,x,y)dS，同样可以进行多种其它的变换。

(2)对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可，比如：如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz,∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx,∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy。

(3)将(1)中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)=0，那么在这个曲线上的积分∫f(x,y)ds=∫f(y,x)ds；实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)=0，则意味着积分曲线关于直线y=x对称。第二类三维空间的曲线积分跟（2）总结相同同。但第二类平面上的曲线积分不同∫f(x,y)dx=-∫f(y,x)dy.(注意前面多了一个负号）

(4)二重积分和三重积分都和(1)的解释类似，也是看积分域函数将x,y,z更换顺序后，相当于将坐标轴重新命名，积分区间没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变。

2利用轮换对称性求最值

在高考或竞赛的选择、填空题中，常会遇到一类求最值词题，这类问题的特征是条件式与待求式都是轮换对称式即所给式中的字母x、y、z能依次轮换，相互代替，而结果不变，则关于x、y、z的代数式的最大(小)值，一定是在x＝y＝z＝时的值。运用此性质，能有效、迅速求解此类题，从而得宝贵的时间。

只要被积函数或积分区域具有对称性，则二重或三重积分可利用轮换性简化计算。

积分轮换对称性是指坐标的轮换对称性，简单的说就是将坐标轴重新命名，如果积分区间的函数表达不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变。

如果是二元函数在二维区域积分，其实任何情况下(不管D是否关于y=x对称)都可以同时交换积分函数和积分区域的y和x，设D进行轮换之后的区域为D'，则D'与D必定关于y=x对称（D自身和D'自身未必关于y=x对称）

但轮换的目的是为了简化，也就是交换后得到的积分和原积分必须能够通过叠加简化。而两个积分能够直接叠加的前提是区域D和轮换后的区域D'是同一个区域，这就要求D关于y=x对称

、适用题型在不等式中的多元变量问题中，我们可以用“确定主元法”、“构造函数法”、“判别式法”等，但这些方法在均有一定的计算量，在面对填空题时会显得力不从心。

这个时候，我们可以尝试分析“对称性”，运用“对称变量法”巧解此类问题.我们知道，在高中阶段，解决不等式题目时，我们常常要遵循“一正、二定、三相等”的解题规律，而“对称变量法”是直接从“相等”这个方面入手，从而消元，并将不等式转化为等式进行求解，大大降低了解题难度.虽然是从不等式引出的“对称变量法”，实际上，对于一些涉及到不等关系的几何图形，也可以应用对称变量法进行求解.二、基本理论若条件和结论中的变量x与y均是对称的，那么多数情况下当变量z取最值时，x与y的“贡献”是一样，故可令yx，然后问题即转化为解方程组.所谓的“对称”，最直观的认识就是：两变量范围相同，并且互相交换位置后不会改变题目.注意，必须题设与结论中的式子都要满足对称才行.对于多元变量，只要对于某些变量，其中任意两个交换都不改变题意，即可认为这些变量为对称变量.三、解题步骤1、从条件和结论两方便寻找对称变量（部分题目需要适当变形）；

2、令所有的“对称变量”相等，解方程组；若矛盾，退一步，令部分“对称变量”相等，解方程组；

3、将求出的值代入，得到最大值和最小值.四、几点注意1、在“完全对称”的假设下解方程组，若无解，请尝试“不完全对称”；

2、在分析“对称变量”时，不仅需要从条件入手，也需从题目设问入手；且部分题目需要适当变形（平衡系数）；

3、“对称变量法”仅为解决此类问题的一个“非官方的捷径”，并不是所有的题都可以这么做，同时，也会有反例（见“经典反例”）；

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