为了方便同学们查询考研相关问题，688学习园开设了考研问答专栏，每天更新考研相关问答资讯，如有兴趣请时刻关注！

实对称矩阵的定义和性质

不知道大家刚开始备考时的感觉怎么样，是不是跟小编一样抓不到头脑。关于上述内容，就让688学习园小编跟大家一起交流一下吧！（考研报考志愿怎么填)

实对称矩阵是指矩阵的转置等于其本身。对于一个n阶实对称矩阵A：

1.矩阵A的特征值都是实数。

2.矩阵A的特征向量可以相互正交。

3.矩阵A一定有n个线性无关的特征向量。

4.实对称矩阵A可以对角化。

实对称矩阵的本征值与特征向量的关系

通过这个问题的阐述，想必大家已经有了一定的认知，别急，下面的内容同样重要；（华北电力大学保定就业怎么样)

对于一个实对称矩阵A，我们可以得到矩阵A的一组特征值和相应的特征向量。

令λ和v分别表示A的特征值和对应的特征向量。

设矩阵A的特征值为λ1,λ2,…,λn，相应的特征向量为v1,v2,…,vn，其中n为矩阵A的阶数。

根据特征值和特征向量的定义，我们有Avi=λivi，其中vi表示矩阵A的第i个特征向量。

实对称矩阵的特征向量正交性证明

其实，考研的问题也不是特别难，只是大家初次遇到而已，遇到问题迎难而上解决问题，会使我们今后的学习备考越来越简单~（学科英语考320怎么调剂)

现证明实对称矩阵的特征向量相互正交。假设vi和vj为A的不同特征值对应的特征向量。

根据特征值和特征向量的定义，有Avi=λivi和Avj=λjvj。

对第一个等式取转置，得到(Avi)T=(λivi)T。

由于A是实对称矩阵，所以(Avi)T=AiTvi=λivi。

同理,对第二个等式取转置，得到(Avj)T=(λjvj)T。

由于A是实对称矩阵，所以(Avj)T=AiT=vTjλj。

将以上两个等式相乘，得到vTivi=λivTjv。

因为特征值λi和λj不相等，所以vTivi≠0。

所以，根据上述等式可知，vTjv=0，即特征向量vi和vj正交。

实对称矩阵的对角化

根据前面的证明，实对称矩阵的特征向量是相互正交的。

我们可以将这些特征向量标准化后，构成一个正交矩阵P。

将实对称矩阵A和正交矩阵P相乘，得到矩阵D。

设对角矩阵D的对角线上的元素为λ1,λ2,…,λn。由于P是正交矩阵，所以P-1=P转置。

则有D=PAP转置。

由于A是实对称矩阵，所以A转置=A。所以，可以得到D=PAP-1，即A=PDP转置。

通过对实对称矩阵A进行特征值分解，可以得到它的特征向量构成的正交矩阵P和对角矩阵D。

即实对称矩阵A可以对角化。

文章总结

综上所述，实对称矩阵一定能对角化。

对于实对称矩阵，其特征向量相互正交，可以通过特征值分解得到对角矩阵和正交矩阵。

通过对角化，我们可以更方便地研究和计算实对称矩阵的性质。

实对称矩阵,对角化,特征值分解

关于考研的相关问题，688学习园就先给大家简单介绍到这里了。如果还有其他内容想要了解的，就请到问答栏目进行查找学习吧。